31:T4e6,md` Założeniem tego szkicu jest pomoc w opanowaniu zależności jakie uzyskuje się stosując przekształcenie Laplace'a ale z zastosowaniem prostszego zestawu pojęć wprowadzonych w rachunku operatorów Mikusińskiego. Poniżej kilka cytatów z monografii _Jan Mikusiński: Rachunek operatorów, Warszawa 1957 (i 1953)_ . Aby były one zrozumiałe należy we własnym zakresie zapoznać się z niżej wymienionymi pojęciami. * **Pochodna** funkcji ${tex`f(t)`}: ${tex` f^{\prime} (t)=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t} `} (Pochodna jest też oznaczana symbolami ${tex` \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(t)`}, ${tex` \dot{f}(t) `} ) * **Pierwotna** ${tex`F(t)`} funkcji ${tex`f(t)`} tj.: ${tex` F^{\prime}(t) \equiv f(t) `} (równość zachodzi w każdym punkcie ${tex`t`}) * ${tex`{\int_a^b f(\tau) \mathrm{d} \tau} = F(b) - F(a)`} , gdzie ${tex` F^{\prime}(t) \equiv f(t) `} ${tex.block` {\int_0^t F^{\prime}(\tau) \mathrm{d} \tau} \equiv F(t) - F(0) `} * Przebieg funkcji na wyjściu układu opisuje **splot** funkcji na wejściu i pewnej funkcji charakterystycznej układu (tu dalej pojawi sie definicja slpotu). `32:T5b2,md` **§6. Funkcja a wartość funkcji** [...] co innego znaczy funkcja ${tex`f(t)`}, co innego zaś wartość funkcji w punkcie ${tex`t`} [...] Umawiamy się odtąd, że symbol ${tex`f(t)`} _nie poprzedzony wyrazem funkcja_, będzie zawsze oznaczał wartość funkcji punkcie ${tex`t`}; samą zaś funkcję będziemy dla odróżnienia oznaczać symbolem ${tex`\{f(t)\}`}. [...] ${tex.block` \{f(t)\} = \text{funkcja } f(t), \\ \ \\ f(t) = \text{ wartość funkcji } f(t) \text{ w punkcie } t. `}

${await FileAttachment("Rys.2.png").image()}

Rys. 2

W szczególności więc symbol ${tex`\{2\}`} będzie oznaczał funkcję stałą, której wartość wynosi 2 w każdym punkcie ${tex`t`}. Sama zaś dwójka: 2 będzie oznaczać liczbę. Geometrycznie funkcja 2 przedstawia linię prostą równoległą, do osi t, podczas gdy liczba 2 jest przedstawiona przez jeden punkt, na ustalonej osi liczbowej. [...] Wobec przyjętej umowy znaczenie symbolu ${tex`2{\cdot}3`} nie jest już dwuznaczne; jest to zwykły iloczyn liczb 2 i 3, który jest równy liczbie 6. Natomiast symbol ${tex`\{2\} \{3\}`} oznacza splot _funkcji_ 2 z _funkcją_ 3, to znaczy _funkcję_ ${tex`6 t`} . Mamy więc równości ${tex.block` 2{\cdot}3 = 6 \quad \text{\small i} \quad \{2\} \{3\} = \{6t\} \qquad \textsf{\textbf{\tiny \color{SkyBlue} [...]}} `} `33:T4d9,md` ### Komentarz .1. Wzór taki jak (21.1) pozwala zamieniać równania z pochodnymi funkcji na równania z podstawowymi działamiami z operatorami ** + - · / ** . Obliczone rozwiązania z operatorem _s_ można na koniec przekształcić w funkcję w dziedzienie czasu. .2. Funkcja {1} o wartości 1 dla _t_ ≥ 0 można traktować jako skok jednostkowy, tj. funkcję wyzerowaną dla _t_ < 0; z §21.: ${tex`\ \color{purple} \cfrac{1}{s} = \color{brown} \{1\} `} .3. Ten szkic to tylko zarys początkowego fragmentu monografi, w której dalej rozważane są ważne zagadnienia praktyczne jak . Równania różniczkowe zwyczajne o współczynnikach stałych . Funkcje nieciągłe . Funkcja skoku i operator przesunięcia . Równania różniczkowe z nieciągłą prawą stroną . Zastosowanie do równań różniczkowych cząstkowych Odnośniki: * https://eudml.org/doc/219300 * (lub http://matwbn-old.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=30&wyd=10&jez=pl ) * http://home.agh.edu.pl/~piotrs/RachunekOperatorowMikusinskiego_PiotrSzymczyk.pdf * https://observablehq.com/@andrzejq/polynomial-number-method `34:[{"id":"8abfd174db5f6e23535b81e0a49d2a0b6b91460e48bc72b9f8a0b36677fb84dba438976bdc5befe5a517acf55c31a1a25f494a1982199ba6459bff7143074b4f","href":"https://static.observableusercontent.com/files/8abfd174db5f6e23535b81e0a49d2a0b6b91460e48bc72b9f8a0b36677fb84dba438976bdc5befe5a517acf55c31a1a25f494a1982199ba6459bff7143074b4f","name":"Rys.2.png","type":"image/png","lastModified":1587447651841.391,"size":6083}] 2f:{"title":"Rachunek operatorów Mikusińskiego - dla początkujących","cells":[{"id":0,"value":"md`# Rachunek operatorów Mikusińskiego - dla początkujących`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":2,"value":"$31","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":94,"value":"`\nFragmenty monografii:\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":114,"value":"md`### PRZEDMOWA\n\n\nRachunek operatorów był już znany w początkach XIX wieku, lecz rozpowszechnił się i rozwinął dopiero dzięki pracom Heaviside'a, który stosował go szeroko w zagadnieniach elektrotechnicznych. \n\nW tej książce operatory są wprowadzone algebraicznie jako pewnego rodzaju ułamki. Stanowią one uogólnienie pojęcia liczby; działania na nich wykonuje się tak jak na liczbach. Ujęcie to jest prostsze i ogólniejsze od podawanego w innych książkach (w których wykład jest oparty na transformacji Laplace'a) i jest dostępne dla czytelników nie znających teorii funkcyj analitycznych. \n[...]\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":422,"value":"md`\n## ALGEBRA OPERATORÓW\n \n\n#### Rozdział I\n\n### POJĘCIE 1 WŁASNOŚCI SPLOTU FUNKCYJ CIĄGŁYCH\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":118,"value":"md`\n**§1. Definicja splotu.** Wyjściowym punktem dla teorii przedstawionej w tej książce jest pojęcie splotu. Splotem funkcyj ${tex`a(t)`} i ${tex`b(t)`} nazywamy funkcję ${tex`c(t)`} określoną przez całkę\n${tex.block`\nc(t) = {\\int_0^t a(t-\\tau)\\ b(\\tau)\\ d\\tau}\n`}\n[...]\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":143,"value":"md`\n**§2. Klasa ${tex`\\mathcal{C}`}.** Funkcje, które są określone i ciągłe, w przedziale ${tex`0 \\leqslant t < \\infty`} będą, grały szczególnie ważną rolę w rachunku operatorów. ... W rozdziale 1 będziemy rozważać jedynie funkcje klasy ${tex`\\mathcal{C}`} [...]\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":150,"value":"md`\n**§3. Przemienność splotu** [...] \n**§4. Łączność splotu** [...] \n**§5. Dodawanie i splot jako podstawowe działania w rachunku operatorów** [...]\n\nDaleko idące uproszczenie zyskamy umawiając się, że splot dwóch funkcyj ${tex`a(t)`} i ${tex`b(t)`} będzienmy prostu oznaczać tak, jak iloczyn dwóch liczb, to znaczy symbolem ${tex`a b`} lub ${tex`a{\\cdot}b \\ `} [...]\n${tex.block`\nab = ba \\qquad (ab)c = a(bc) \\qquad a(b+c) = ab + ac \\qquad \\textsf{\\textbf{\\tiny \\color{SkyBlue} [...]}}\n`}\n\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":164,"value":"$32","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":319,"value":"md`\n**§7. Symbolika.** Mamy ogólne wzory\n${tex.block`\n\\{a(t)\\}+\\{b(t)\\} = \\{a(t)+b(t)\\} , \\qquad \\{a(t)\\}\\cdot\\{b(t)\\} = \\left\\{{\\int_0^t a(t-\\tau)\\ b(\\tau)\\ d\\tau}\\right\\}\n`}\n[...]\nJeżeli jakaś funkcja występuje w rachunku kilka razy, to najwygodniej oznaczyć ją jedną literą, na przykład: \n${tex.block`\na = \\{e^{t^2} \\cos t\\} \n`}\n[...]\nJeżeli funkcja nie jest dana konkretnie, lecz zapisana symbolem ogólnym ${tex` \\{f(t)\\} `}, to w skrócie najlepiej używać tej samej litery \n${tex.block`\nf = \\{f(t)\\} \\qquad \\textsf{\\textbf{\\tiny \\color{SkyBlue} [...]}}\n`}\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":372,"value":"md`\n**§8. Operator całkowy.** Zgodnie z definicją splotu jest\n${tex.block`\n\\{1\\} \\{f(t)\\} = \\left\\{{\\int_0^t f(\\tau)\\ d\\tau}\\right\\};\n`}\nfunkcja ${tex`\\{1\\}`} wyróżnia się tym, że utworzenie jej splotu z dowolną funkcją ${tex`\\{f(t)\\}`} powoduje scałkowanie tej ostatniej w granicach od 0 do t. Z tego powodu funkcję ${tex`\\{1\\}`} będziemy nazywać _operatorem całkowym_; dla skrócenia będziemy ją oznaczać literą ${tex` l `}:\n${tex.block`\nl = \\{1\\} \\qquad \\textsf{\\textbf{\\tiny \\color{SkyBlue} [...]}}\n`}\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":425,"value":"md`\n#### Rozdział II\n\n### TWIERDZENIE TITCHMARSHA\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":411,"value":"\nmd`\n[...] \n_Jeżeli funkcje ${tex` f `} i ${tex` g `} klasy ${tex`\\mathcal{C}`} nie są tożsamościowo równe zeru, to ich splot również nie jest tożsamościowo równy zeru._ \n[...]\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":429,"value":"md`\n#### Rozdział III\n\n### OPERATORY\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":394,"value":"md`\n**§14. Działanie odwrotne do splotu.** Podobnie jak w algebrze tak i w rachunku operatorów można wprowadzić ułamki\n\n${tex.block`\n\\frac{a}{b} \\ ;\n`}\n[...] Symbol ${tex` a/b `} (gdzie _b_ nie jest tożsamościowo zerem) będzie wówczas oznaczał taką funkcję _c_, że\n${tex.block`\na=bc \\tag{14.1}\n`}\n\n[...] Aby definicja symbolu ${tex` a/b `} była jednoznaczna, potrzeba, żeby przy zadanych, _a_ i _b_ (_b_ nie równe tożsamościowo zeru) istniała co najwyżej jedna funkcja _c_, spełniająca równość (14.1). Jednoznaczność tę zapewnia udowodnione w rozdziale II twierdzenie Titchmarsha. [...]\n\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":445,"value":"md`\n**§15. Operatory** Może się zdarzyć, że dla danych funkcyj ${tex` a `} i ${tex` b \\neq \\{0\\} `} klasy ${tex`\\mathcal{C}`} nie istnieje funkcja ${tex` c `} , która by spełniała równanie ${tex` a = bc`}. [...] \nZe zjawiskiem niewykonalności działania odwrotnego spotykamy się już na elementarnym szczeblu matematyki. Mianowicie w arytmetyce liczb całkowitych nie zawsze dzielenie jest wykonalne. Na przykład liczba 2 nie dzieli się przez 3. Ale zwróćmy uwagę na to, że właśnie niewykonalność dzielenia jest źródłem nowego rodzaju liczb, jakimi są ułamki. [...]\n\nPodobnie, _niewykonalność działania odwrotnego do splotu prowadzi do nowego pojęcia matematycznego, jakim są operatory_. [...]\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":453,"value":"md`\n**§16. Działania na operatorach** [...]\n${tex.block`\n\\frac{a}{b} = \\frac{c}{d} \\text{ \\small wtedy i tylko wtedy, gdy } ad = bc \\qquad\n\\frac{a}{b} \\cdot \\frac{c}{d} = \\frac{ac}{bd} \\text{ \\small ;} \\qquad \\frac{a}{b} + \\frac{c}{d} = \\frac{ad+bc}{bd}\n\\quad \\textsf{\\textbf{\\tiny \\color{SkyBlue} [...]}}\n`}\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":468,"value":"md`\n**§17. Operatory liczbowe** Zajmiemy się teraz operatorami postaci ${tex` \\cfrac{\\{\\alpha\\}}{\\{1\\}}`}, gdzie ${tex` \\{\\alpha\\} `} jest dowolną funkcją stałą (to znaczy przyjmującą wszędzie wartość ${tex` \\alpha `} ); oznaczymy je symbolem ${tex` [\\alpha] `}:\n${tex.block`\n[\\alpha] = \\cfrac{\\{\\alpha\\}}{\\{1\\}}\n\\ .`}\nŁatwo jest sprawdzić wzory\n${tex.block`\n[\\alpha] + [\\beta] = [\\alpha + \\beta] \\ , \\qquad [\\alpha] [\\beta] = [\\alpha \\beta] \\tag{17.1}\n\\ .`}\n[...] Dzięki wzorom (17.1) można w rachunku operatorów opuszczać nawiasy kwadratowe [ ]; zamiast więc ${tex` [\\alpha] `} będziemy po prostu pisać ${tex` \\alpha `}. [...]\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":495,"value":"md`\n**§19. Iloczyn liczby i funkcji** [...]\n${tex.block`\n[\\alpha]\\{\\beta\\} = \\{\\alpha \\beta\\}\n\\ . \\quad \\textsf{\\textbf{\\tiny \\color{SkyBlue} [...]}}`}\n${tex.block`\n\\alpha\\{f(t)\\} = \\{\\alpha f(t)\\} \\tag{19.1}\n\\ .`}\n[...]\nZauważmy, że dla dodawania nie istnieje wzór analogiczny do (19.1). [...]\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":504,"value":"md`\n**§21. Operator różniczkowy** Operatory można przez siebie dzielić. [...]\n\nW szczególności ${tex` 1/k `} nazywamy odwrotnością operatora ${tex` k `}. [...]\n\nPodstawową rolę w rachunku operatorów gra _odwrotność operatora całkowego_ \n${tex` l=\\{1\\} `}, którą oznaczać będziemy przez\n${tex.block`\ns = \\frac{1}{l}\n\\ .`}\nWobec tej definicji mamy\n${tex.block`\nls = sl = 1\n\\ .`}\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":533,"value":"md`\nUdowodnimy następujące ważne\n\n**Twierdzenie**. _Jeżeli funkcja_ ${tex` a=\\{a(t)\\} `} _ma pochodną_ ${tex` a^\\prime=\\{a^\\prime(t)\\} `} _ciągłą dla_ \n${tex`0 \\leqslant t < \\infty`} _, to zachodzi wzór_\n${tex.block`\ns a = a^\\prime +a(0) \\ , \\tag{21.1}\n`}\n_gdzie_ ${tex` a(0) `} _jest wartością funkcji_ ${tex` a `} _w punkcie_ ${tex` t = 0 `} .\n\nIstotnie, mamy\n${tex.block`\n\\{a(t)\\} = \\left\\{{\\int_0^t a^\\prime (\\tau)\\ d\\tau}\\right\\} +\\{a(0)\\} \\ , \\text{ czyli } \\{a(t)\\} = l \\{a^\\prime (t)\\} +la(0) \\ .\n`}\nStąd, mnożąc obustronnie przez ${tex` s `} otrzymujemy wzór (21.1).\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":553,"value":"md`\n[...] ${tex` s `} będziemy nazywać _operatorem różniczkowym_. \n\n[...] Należy jednak pamiętać, że w ogólnym przypadku pomnożenie przez s oznacza zróżniczkowanie funkcji i dodanie jej wartości początkowej. W wyniku daje to operator, który redukuje się do funkcji tylko wtedy, gdy wartość początkowa funkcji danej jest zerem.\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":560,"value":"md`\n**§22. Potęgi operatora _s_** [...]\n${tex.block`\ns^2 a = s a^\\prime + s a(0) \\ , \\text{ skąd \\textsf{\\textbf{\\tiny \\color{SkyBlue} [...]}}}\\\\\ns^2 a = a^{\\prime\\prime} + a^\\prime(0) + s a(0) \\ .\n`}\n[...] _Jeżeli funkcja_ ${tex` a = \\{a(t)\\} `} _ma n-tą pochodną_ ${tex` a^{(n)} = \\{a^{(n)}(t)\\} `} _ciągłą w przedziale_ \n${tex`0 \\leqslant t < \\infty`} _, to_\n${tex.block`\ns^n a= a^{(n)} + a^{(n-1)}(0) + s a^{(n-2)}(0) + ... + s^{n-1} a(0) \\ .\n`}\nZe względu na **zastosowanie przy rozwiązywaniu równań różniczkowych** najwygodniej jest zapisać ostatni wzór w postaci\n${tex.block`\n\\color{brown} a^{(n)} \\color{purple} = s^n a - s^{n-1} a(0) - ... - s a^{(n-2)}(0) - a^{(n-1)}(0) \\ .\n`}\n\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":590,"value":"md`\n**§22. Związki operatora _s_ z funkcją wykładniczą** Stosując wzór (21.1) do funkcji ${tex` \\{e^{\\alpha t}\\} `} znajdujemy równość\n${tex.block`\ns \\{e^{\\alpha t}\\} = 1 + \\alpha\\{e^{\\alpha t}\\} \\ , \n`}\nz której łatwo wyliczamy\n${tex.block`\n\\color{brown} \\{e^{\\alpha t}\\} \\color{purple} = \\frac{1}{s -\\alpha}\\ . \\tag{24.1}\n`}\n[...]\nogólnie\n${tex.block`\n\\color{purple} \\frac{1}{(s -\\alpha)^n} = \\color{brown} \\left\\{ \\frac{t^{n-1}}{(n-1)!} e^{\\alpha t} \\right\\} \\quad (n=1,2,...) \\ . \\tag{24.2}\n`}\n[...]\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":613,"value":"md`\n**§22. Związki operatora _s_ z funkcjami trygonometrycznymi** [...]\n${tex.block`\n\\color{purple} \\frac{1}{(s -\\alpha)^2 + \\beta^2} = \\color{brown} \\left\\{ \\frac{1}{\\beta} e^{\\alpha t} \\sin{\\beta t} \\right\\} \\quad (\\beta > 0)\n\\ \\text{\\small ,} \\\\ \n\\ \\\\\n\\color{purple} \\frac{s - \\alpha}{(s -\\alpha)^2 + \\beta^2} = \\color{brown} \\left\\{ e^{\\alpha t} \\cos{\\beta t} \\right\\} \n\\color{black} \\ . \\qquad \\qquad \\textsf{\\textbf{\\tiny \\color{SkyBlue} [...]}}\n`}\n`","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"},{"id":384,"value":"$33","pinned":false,"hidden":false,"mode":"ojs"}],"files":"$W34","stdlib":"1","titling":"auto"}